BINOMIO DE NEWTON

FACTORIAL

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n \,$

Que de un modo resumido, se puede expresar como:

$n! = \prod_{k=1}^n k$

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.

$n!= \begin{cases} \mbox{si }n=0 & \Rightarrow 1 \\ \mbox{si }n \geqslant 1 & \Rightarrow (n-1)! \cdot n \end{cases}$

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)ⁿ:

(a + b)ⁿ = aⁿ + n × a^{n − 1} × b + C_{n, 2} × a^{n − 2} × b² + ... + n × a × b^{n − 1} + bⁿ

con: $C_{n,k} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$
Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Tynril). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

$n!\approx \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n}$

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la Función gamma de manera que

$n!=\int^\infty_0t^ne^{-t}dt=\Gamma(n+1)$

CALCULO DEL BINOMIO

Para calcular un Binomio de Newton estilo ${n \choose k}$ podemos hacer de forma sencilla:

${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

TEOREMA GENERALIZADO DEL BINOMIO DE NEWTON

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3) ${(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}$

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

${r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}$

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

$\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k.$

La suma en converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

BINOMIO DE NEWTON

En matemática, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de ${n\choose k}$ (que también es representado ocasionalmente como

C (n, k)

o $C^n_k$ ) se obtiene una tercera representación:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k.$

El coeficiente de $x k y n - k$ en el desarrollo de $(x + y) n$ es ${n\choose k}$

donde ${n\choose k}$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n.$

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

$\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

$(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

miércoles, 24 de noviembre de 2010

FACTORIAL

CALCULO DEL BINOMIO

TEOREMA GENERALIZADO DEL BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON