Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como
Sn a la suma de
n términos consecutivos de una progresión geométrica:
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- Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión
r.
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Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,
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- Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
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- Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r
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- Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
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- Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
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- Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja
Sn,
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De esta manera se obtiene la suma de los
n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión
an como
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- an = a1 rn-1
Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:
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con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
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Con esta fórmula se puede obtener la suma de
n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Si queremos calcular el resultado de una suma de
n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:
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Suma de términos infinitos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad
| r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si
| r | < 1,
tiende hacia 0, de modo que:
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En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
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