BINOMIO DE NEWTON: BINOMIO DE NEWTON

miércoles, 24 de noviembre de 2010

BINOMIO DE NEWTON

En matemática, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de ${n\choose k}$ (que también es representado ocasionalmente como

C (n, k)

o $C^n_k$ ) se obtiene una tercera representación:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k.$

El coeficiente de $x k y n - k$ en el desarrollo de $(x + y) n$ es ${n\choose k}$

donde ${n\choose k}$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n.$

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

$\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

$(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

2 comentarios:

Unknown25 de diciembre de 2017, 3:39
Excelente, conciso sin mucho adornos y adsequible al entendimeiento Gracias
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Anónimo24 de enero de 2022, 19:27
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