miércoles, 24 de noviembre de 2010

PRODUCTOS SIMILARES

Primorial
El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.

Doble factorial

Se define el doble factorial de n como:
n!! = \begin{cases} 1 & \mbox{si } n=0\mbox{ o }n=1 \\ 2 \times 4 \times 6 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{par} \\ 1 \times 3 \times 5 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{impar} \\\end{cases}

Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para n = 0, 1, 2, \dots empieza así:
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:
(n-2)!!=\frac{n!!}{n}.
Y esta es la sucesión de dobles factoriales para n= -1, -3, -5, -7, \dots\,:
1, -1, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{15}, \dots
El doble factorial de un número negativo par no está definido.
Algunas identidades de los dobles factoriales:
  1. n!=n!!(n-1)!! \,
  2. (2n)!!=2^nn! \,
  3. (2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
  4. (2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}
  5. \Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}
  6. \Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}
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