BINOMIO DE NEWTON: FACTORIAL

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n \,$

Que de un modo resumido, se puede expresar como:

$n! = \prod_{k=1}^n k$

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.

$n!= \begin{cases} \mbox{si }n=0 & \Rightarrow 1 \\ \mbox{si }n \geqslant 1 & \Rightarrow (n-1)! \cdot n \end{cases}$

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)ⁿ:

(a + b)ⁿ = aⁿ + n × a^{n − 1} × b + C_{n, 2} × a^{n − 2} × b² + ... + n × a × b^{n − 1} + bⁿ

con: $C_{n,k} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$
Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Tynril). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

$n!\approx \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n}$

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la Función gamma de manera que

$n!=\int^\infty_0t^ne^{-t}dt=\Gamma(n+1)$

BINOMIO DE NEWTON

miércoles, 24 de noviembre de 2010

FACTORIAL

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